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2008-8-28 10:22

答案

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2008-8-29 13:39

证明如下

写起来实在麻烦啊

简单地：a*10^n=a*99...9(n个）+a

所以n位数=9A+（各位数字的和）

如果    各位数字的和是9的倍数，那么整个n位数就是9的倍数

n=3时，就是一个四位数，1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9K+(a+b+c+d)
........

证明：
设四位数为103a+102b+10c+d, 则：
　   a+b+c+d=9k (k为正整数)
∴d=9k－a －b－c,代入得：
     （103－1）a+(102-1)b+9c+9k
       =9(111a+11b+c+k)
∵111a+11b+c+k是整数，

∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除
n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)
∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　
代入（1）得：
10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1

＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k

∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示999...9（n-1个9） ，99...9（n-2个9）
，…，9
∴这个n位正整数必能被9整除！

设一个四位数为 abcd
则这数=1000a+100b+10c+d
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d
                               =9*(111a+11b+c)+a+b+c+d
                               同余于 a+b+c+d     (mod 9)
所以 若 a+b+c+d 同余于0  (MOD9)
则 四位数也同余于0 (MOD9)
同理可得 N位正整数都有同样的结论

一位数：设这个一位数为a
a=9,a能被9整除，则这个一位数必能被9整除。
两位数：设这个两位数为ab
ab=10a+b=9a+(a+b)
9a和a+b都能被9整除，则这个两位数必能被9整除。
三位数：设这个三位数为abc
abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)
9(11a+b)+(a+b+c)都能被9整除，则这个三位数必能被9整除。
四位数：设这个四位数为abcd
abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
9(111a+11b+c)和(a+b+c+d)都能被9整除，则这个四位数必能被9整除。
..................................................
n位数：设这个n位数为abc......
abc.....=ax10的(n-1)次方+bx10的(n-2)次方+cx10的(n-3)次方........
           =9[(n-1)个1xa+(n-2)个1xb+(n-3)个1xc]+(a+b+c+.......)
9[(n-1)个1xa+(n-2)个1xb+(n-3)个1xc]和(a+b+c+.......)都能被9整除，则这个n位数必能被9整除。

设一个四位数为 abcd
则这数=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+d +a+b+c
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
前后两项均可被9整除， 证毕

同理可得 N位正整数都有同样的结论

证明：
设一个四位数为10^3a+10^2b+10c+d
且：a+b+c+d=9k (a,b,c,d,k为正整数)，则 d=9k－a －b－c
将其代入原四位数，得
10^3a+10^2b+10c+9k－a －b－c＝（10^3－1）a+(10^2-1)b+9c+9k
=999a+99b+9c+9k=9(111a+11b+c+k)

而111a+11b+c+k是整数，
所以四位数10^3a+10^2b+10c+d能9被整除
推广到n位正整数亦成立(以下略。太费劲了，平方也打不出来）

证明：
设四位数为103a+102b+10c+d, 则：
　   a+b+c+d=9k (k为正整数). Q) ~  [$ c# a' n) j  i. i
∴d=9k－a －b－c,代入得：
  （103－1）a+(102-1)b+9c+9k
      =9(111a+11b+c+k)8 m* ]- c9 ~2 W" h5 T3 ^
∵111a+11b+c+k是整数，7 J4 W0 ]2 N, r2 M# R

∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除; Z, r8 L; S) ~0 O) ^* b$ C
n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)
∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　6 v' M. k4 R" j% j% N
代入（1）得：6 O( v( }/ \; P  Q9 X6 B
10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1
＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k, a6 w2 S: q6 M+ _/ ?# y7 G
# J: \( h8 ]7 j1 I& ^% f: V3 Q
∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示999...9（n-1个9） ，99...9（n-2个9）. n1 j$ ~4 E) |" @
，…，9
∴这个n位正整数必能被9整除！' Q+ M- X5 C+ X6 |0 b: e+ Y

设一个四位数为 abcd
则这数=1000a+100b+10c+d
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d
=9*(111a+11b+c)+a+b+c+d
                               同余于 a+b+c+d   
所以 若 a+b+c+d 同余于0
则 四位数也同余于0
同理可得 N位正整数都有同样的结论